Question

如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠CEF=75°，CF=，求△AEF的面积．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2.

试题分析：（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH．
试题解析：（1）证明：连接PC．

∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=EF，PC=EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共边），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；
（2）由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°，
∵设BE=x．
∴，．
又，
则.
解之，得
∴
∴