Question

如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。

（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；

（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

Answer 1

（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD ∵BC=CD，

∴∠BCR=∠DCR

∵四边形ABCR是平行四边形，

∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR

又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD

（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD。

又由AB=CD知∠A=∠CDA 因为SR∥PQ∥BA，

所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD。

由PS∥BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD  故∠CDA=60°。

因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°

（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可。）