题目内容

已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于P(1，3)成中心对称．

(1)用m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；

(2)求m的值和抛物线C2的解析式；

(3)设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

答案：
解析：

　　(1)因为，

　　所以，抛物线的顶点A(m，2m＋1)．………………………………2分．

　　(2)如图，因为点A、B关于点P(1，3)成中心对称，作PEy轴于点E，作AFy轴于点F，可知．所以，AF＝2PE，即m＝2．…………………3分．

　　又P(1，3)，A(2，5)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A、P的坐标代入得

　　所以k＝2，b＝1．故直线AB的解析式是

　　y＝2x＋1，得抛物线的顶点的坐标是B(0，1)．……………4分．

　　因为关于点P成中心对称，所以，抛物线的开口大小相同，方向相反，得的解式是……………………………………………5分．

　　(3)在中，因为AB＝，所以不存在AB＝AC的情况．

　　当为等腰三角形时，只有以下两种情况：

　　①如图，设C(x，0)，若BC＝AB＝，则OC＝，

　　得C(，0)．又C(，0)在上，则．…………6分．

　　②如图，若AC＝BC，设C(x，0)，作ADx轴于点D，

　　在中，；

　　在中，

　　由，解得x＝7．

　　因为C(7，0)在上，所以a＝．

　　综上，满足使是等腰三角形的a的值有两个：

　　．……………………7分．


练习册系列答案
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已知抛物线C1：y＝－x2＋2mx＋n(m，n为常数，且m≠0，n＞0)的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．

注：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为．

(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：________；

(2)当m＝1时，判定△ABC的形状，并说明理由；

(3)抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值．如果不存在，请说明理由．

已知抛物线C1：y＝－x2＋2mx＋1(m为常数，且m≠0)的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为

[　　]
A．

B．

C．

D．

如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．

(1)求P点坐标及a的值；

(2)如图(1)，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

(3)如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

已知抛物线C1：y＝－x2＋2mx＋n(m，n为常数，且m≠0，n＞0)的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．

注：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为．

(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式：________；

(2)当m＝1时，判定△ABC的形状，并说明理由；

(3)抛物线C1上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

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