Question

（2011•雅安）如图，已知二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，且与x轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函数的对称轴为，
∴﹣=﹣，
解得a=2，
∵二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，
∴顶点为（﹣，c﹣），
∴（c﹣）=﹣3，
解得c=﹣，
∴二次函数的解析式为y=2x²+2x﹣；
（2）∵二次函数的解析式为y=2x²+2x﹣；
∴令y=0，2x²+2x﹣=0；
解得x=．
∴AB==2；
（3）根据对称轴x=﹣，当x=﹣时，y=﹣3a，
∴NO+MN=+3a≥2=2，当3a=时NO+MN最小，
即3a²=1时，a=，
∴此时二次函数的解析式为y=x²+2x+3．

解析