Question

如图，已知点E在BD上，EC平分∠DEF，∠4=∠C．
（1）若∠1=∠A，AE⊥CE，求证：∠B+∠D=180°．
（2）若∠1=∠A，AB∥CD，求证：AE⊥CE．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义首先得出，∠3=∠4，进而得出EF∥DC，再利用AE⊥CE得出，∠1=∠2，进而得出AB∥CD，即可得出答案；
（2）根据已知首先判断出AB∥EF，进而得出∠1=∠2，∠3=∠4，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵EC平分∠DEF，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠C，
∴∠3=∠C，
∴EF∥DC，
∵AE⊥CE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠A，
∴∠A=∠2，
∴AB∥EF，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠D=180°．

（2）∵EC平分∠DEF，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠C，
∴∠3=∠C，
∴EF∥DC，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠A，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，
∴AE⊥CE．

点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练利用平行线的判定得出AB∥EF是解题关键．