Question

如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.

（1）求BC的长；

（2）求⊙O的半径.

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.

∴∠AEB=∠AEC=90°.

在Rt△ABE中，∵sinB=，

∴AB=AB·sinB=3·sin45°= 3·=3.

∵∠B=45°，

∴∠BAE=45°.

∴BE=AE=3.

在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，

∴EC=.

∴BC=BE+EC=3+.

（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，

∴AC=2.

解法一：连接AO并延长交⊙O于M，连接CM.

∵AM为直径，

∴∠ACM=90°.

在Rt△ACM中，∵∠M=∠D=∠ACB=60°，sinM=，

∴AM===4.

∴⊙O的半径为2.

解法二：连接OA，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，

则AF=AC=.

∵∠D=∠ACB=60°，

∴∠AOC=120°.

∴∠AOF=∠AOC=60°.

在Rt△OAF中，sin∠AOF=，

∴AO==2，即⊙O的半径为2.