Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F；
（1）试说明四边形AECF是平行四边形．
（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
（3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形得出AD∥BC，突出△AEO∽△CFO，推出

OE

OF

=

OA

OC

，求出OE=OF即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形推出即可；
（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AEO∽△CFO，
∴

OE

OF

=

OA

OC

，
∵OA=CO，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；

（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，本题题型较好，是一道具有一定代表性的题目．