题目内容

如图，直线 $数学公式$ 向右平移a个单位后得到直线l，l与函数 $数学公式$ （x＞0）相交于点A，与x轴相交于点B，且OB=AB，若OA²-OB²=8，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：过A作AC垂直于x轴交x轴于C，因为直线l是由y= $\text{[math]}$ x平移得到的，所以直线l与x轴的夹角∠ABC=60°，由OB=BA得到∠AOB与∠OAB相等都等于30°，且∠BAC=30°，设出AC的长，表示出OA和OB，代入已知的OA²-OB²=8中，即可求出AC和OC的长确定出点A的坐标，把求出的A的坐标代入到反比例解析式y= $\text{[math]}$ 中，即可求出k的值．
解答：

解：如图，过A作AC垂直于x轴交x轴于C，
由直线l是直线y= $\text{[math]}$ x平移得到的，所以tan∠ABC= $\text{[math]}$ ，即∠ABC=60°，
又OB=AB，所以∠AOB=∠OAB=30°，
设AC=m，则OA=2m，根据勾股定理得到OC= $\text{[math]}$ m，
又△ABC为直角三角形，∠BAC=30°，
则tan30°= $\text{[math]}$ ，即BC= $\text{[math]}$ m，
所以OB=OC-BC= $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ m，
又∵OA²-OB²=8，即4m²- $\text{[math]}$ m²=8，
解得：m= $\text{[math]}$ ，
则OC=3，AC= $\text{[math]}$ ，即点A坐标为（3， $\text{[math]}$ ），
把A坐标代入y= $\text{[math]}$ 中，得到k=3 $\text{[math]}$ ．
故答案为：3 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及待定系数法求反比例解析式．解本题的关键是平移前后的两直线平行，得到两直线与x轴所夹的锐角相等，求出∠ABC的度数．