题目内容
阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC，这一结论可以说明如下：
解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC
请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论．
操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等腰NN′．想一想，为什么？
根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论．
解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC
请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论．
操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等腰NN′．想一想，为什么？
根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论．
分析：阅读与证明：作∠BAC的平分线AD，然后利用“角角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
操作：根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠N，然后利用“角边角”证明△MOM′和△NON′全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
探究：连接FE并延长交AB于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECF，然后利用“角边角”证明△BEG和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，BG=CF，延长AE到H，使AE=EH，利用“边角边”证明△AEG和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=HF，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠H，然后求出∠H=∠EAF，再根据等角对等边求出AF=HF，从而得到AG=AF，然后求解即可．
操作：根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠N，然后利用“角边角”证明△MOM′和△NON′全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
探究：连接FE并延长交AB于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECF，然后利用“角边角”证明△BEG和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，BG=CF，延长AE到H，使AE=EH，利用“边角边”证明△AEG和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=HF，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠H，然后求出∠H=∠EAF，再根据等角对等边求出AF=HF，从而得到AG=AF，然后求解即可．
解答：解：阅读与证明：如图②，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC；
操作：如图③，∵MM′∥NN′，
∴∠M=∠N，
∵点O为线段MN的中点，
∴OM=ON，
在△MOM′和△NON′中，
，
∴△MOM′≌△NON′（ASA），
∴MM′=NN′；
探究：如图④，连接FE并延长交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECF，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEF中，
，
∴△BEG≌△CEF（ASA），
∴EF=EG，BG=CF，
延长AE到H，使AE=EH，
在△AEG和△HEF中，
，
∴△AEG≌△HEF（SAS），
∴AG=HF，∠BAE=∠H，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠H=∠EAF，
∴AF=HF，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．
在△ABD和△ACD中，
|
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC；
操作：如图③，∵MM′∥NN′，
∴∠M=∠N，
∵点O为线段MN的中点，
∴OM=ON，
在△MOM′和△NON′中，
|
∴△MOM′≌△NON′（ASA），
∴MM′=NN′；
探究：如图④，连接FE并延长交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECF，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEF中，
|
∴△BEG≌△CEF（ASA），
∴EF=EG，BG=CF，
延长AE到H，使AE=EH，
在△AEG和△HEF中，
|
∴△AEG≌△HEF（SAS），
∴AG=HF，∠BAE=∠H，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠H=∠EAF，
∴AF=HF，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
E∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
[]
| |||||||||||||||||||||
、
、
分别是OP、OQ、OR的中点，则△
与△PQR是位似三角形．此时，△
与△PQR的位似比、位似中心分别为
；点P
；点O
，过点
作
∥EC，交OA于点
，作
∥ED，交OB于点
；
．则△
是AOB的内接三角形．
，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式
中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
就可以转化成证AE=AC．
，
，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式
中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
就可以转化成证AE=AC．
，
，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式
中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明
就可以转化成证AE=AC．
，
