Question

如图，在直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针旋转90^o交直线BC于点Q。

（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：            

（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为L,求出L关于m的函数解析式，并判断L是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由。

（3）在直线AB上是否存在点P，使ΔPOQ为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

（1）证明：∵∠APO+∠AOP=90⁰    ∠APO+∠BPQ= 90⁰         ∴∠AOP=∠BPQ

∴RtΔAPO∽RtΔBQP

∴

∴OA·BQ=AP·BP

(2)∵OA·BQ=AP·BP

∴3(3-L)=m(4-m)

∴L关于m的解析式为                   

∵a=1/3>0则L有最小值 L_最小值=5/3

（3）存在，理由  ∵OP⊥PQ则OP=PQ

ΔAPO∽ΔBQP

∴OA/BP=PO/PQ=1 即OA=BP=3

∴AP=1

∴直线AB上存在点P，使ΔPOQ为等腰三角形，点P的坐标为（1，3）