Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=

3

：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF²=PB•EF；③PF•EF=2AD²；④EF•EP=4AO•PO．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．③④

Answer 1

分析：由条件设AD=

3

x，AB=2x，就可以表示出CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，就可以求出∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．

解答：解：设AD=

3

x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=

3

x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=

3

3

x，BP=

2 3

3

x．
∵E为DC的中点，
∴CE=

1

2

CD=x，
∴tan∠CEP=

PC

EC

=

3 3 x

x

=

3

3

，tan∠EBC=

x

3 x

=

3

3

，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴

BE

EF

=

BP

BF

，
∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴②BF²=PB•EF．故②正确；
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=

4 3

3

x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2

3

x，
∴PF•EF=

4 3

3

x•2

3

x=8x²，
2AD²=2×（

3

）²=6，
∵6≠8，
∴PF•EF≠2AD²，故本答案错误；
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=

2 3

3

x．
∵tan∠PAB=

2 3 3 x

2x

=

3

3

，
∴∠PAB=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=

3

x，PO=

3

3

x，
∴EF•EP=2

3

x•

2 3

3

x=4x²
4AO•PO=4×

3

x•

3

3

x=4x²．
∴EF•EP=4AO•PO．故④正确．
故选B．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．