Question

【题目】已知二次函数的图象经过点.

（1）当时，若点在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；

（2）已知点，在该二次函数的图象上，求的取值范围；

（3）当时，若该二次函数的图象与直线交于点，，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或2.

【解析】

（1）将和点，代入解析式中，即可求出该二次函数的表达式；

（2）根据点M和点N的坐标即可求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数的开口方向和二次函数的增加性，即可列出关于t的不等式，从而求出的取值范围；

（3）将和点代入解析式中，可得，然后将二次函数的解析式和一次函数的解析式联立，即可求出点P、Q的坐标，最后利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出的值.

解：（1）∵，

∴二次函数的表达式为.

∵点，在二次函数的图象上，

∴.

解得.

∴该抛物线的函数表达式为.

（2）∵点，在该二次函数的图象上，

∴该二次函数的对称轴是直线.

∵抛物线开口向上，

，，在该二次函数图象上，且，

∴点，分别落在点的左侧和右侧，

∴.

解得的取值范围是.

（3）当时，的图象经过点，

∴，即.

∴二次函数表达式为.

根据二次函数的图象与直线交于点，

由，解得，.

∴点的横坐标分别是1，.

不妨设点的横坐标是1，则点与点重合，即的坐标是，如下图所示

∴点的坐标是，即的坐标是.

∵，

∴根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，可得.

解得或2.