Question

已知：如图六，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y＝ax＋3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12．

（1）求该抛物线的对称轴；

（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与轴相交，且在轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；

（3）若线段DO与AB交于点E，以点 D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵直线y＝ax＋3与y轴交于点A，

∴点A坐标为（0，3）……………………………………………………………………1分

∴AO＝3，∵矩形ABCO的面积为12，∴AB＝4………………………………………1分

∴点B的坐标为（4，3）∴抛物线的对称轴为直线x＝2 ……………………………1分

（2）∵⊙P经过A、B两点，

∴点P在直线x＝2上，即点P的坐标为（2，y）……………………………………1分

∵⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4

又∵AB＝4，

∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2………………………………………1分

∴点P的坐标为（2，1）或（2，5）……………………………………………………2分

（3）①设△DAE∽△DAO，则∠DAE＝∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．

过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N．………………………1分

设点D坐标为（2，y），则ON＝DM＝2，DN＝OM＝y，AM＝y－3

②设△DAE∽△DOA，则∠DAE＝∠DOA，∴∠DAM＝∠DON ……………………1分

∵∠DMA＝∠DNO＝90°，∴△DAM∽△DON ………………………………………1分

∴，∴，  ∴   ∴（舍），

∴点D坐标为（2，4） …………………………………………………………………1分

设抛物线解析式为

∵顶点坐标为（2，4），∴m＝ －2，k＝4，则解析式为

将（0，3）代入，得a＝，∴抛物线解析式为．…………1分