Question

【题目】如图，在ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠ABD交AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F．

（1）求证：△AEB≌△CFD；

（2）若BD=BA，试判断四边形DEBF的形状，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEBF是矩形；理由见解析.

【解析】分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，得出∠ABD=∠BDC，由角平分线的定义证出∠DBE=∠FDB，由ASA证明△AEB≌△CFD即可；（2）先证明四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知BE⊥AD，然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形DEBF是矩形即可．

本题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，

∴∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠BDC，

∴∠DBE=∠FDB=∠DBE=∠BDF（等量代换），

在△AEB和△CFD中， ，

∴△AEB≌△CFD（ASA）；

（2）解：四边形DEBF是矩形；理由如下：

由（1）知：∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

∵BD=BA，BE是∠ABD的平分线，

∴BE⊥AD，

∴∠DEB=90°，

∴四边形DEBF是矩形（有一内角为直角的平行四边形是矩形）．