Question

已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．
（1）若α=60°（如图1）探究线段AD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）若α=120°，并且点D在线段AB上，（如图2）则线段AD与CE的数量关系为______；（直接写出答案）
（3）探究线段AD与CE的数量关系（如图3）并加以证明．

Answer 1

解：（1）AD=CE．
证明：连接BC、BE，
∵AB=AC∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理△DBE也是等边三角形．
∴AB=BCBD=BE∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE．
∴△ABD≌△CBE．
∴AD=CE．

（2）∵∠DEB=30°=∠ACB，
∴B，E，C三点共线．
∵DE∥AC，
∴CE：AD=BE：BD．
过D作DF⊥BE于F，则BE=2BF，
∵BF：BD=cos∠B=cos30°，
∴CE：AD=2cos30°．
∴AD=CE．

（3）连接BC、BE，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴，∠ABC=∠DBE．
∴．
∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴．
作DH⊥BE于H，
∵DB=DE，
∴∠BDH=∠BDE=，
BE=2BH=2BD•sin∠BDH=2BD•sin．
∴．
即CE=2•AD•sin．
分析：（1）要探究线段AD与CE的数量关系，观察图形，猜测它们相等．而AD，CE不在同一个三角形中，因此要使AD，CE所在的三角形全等．为此连接BC、BE，证明△ABD≌△CBE，得出结论．
（2）过D作DF⊥BE于F，则BE=2BF，根据已知及三角函数即可得到结论．
（3）要探究线段AD与CE的数量关系，需使AD，CE成为相似三角形的对应边，为此连接BC、BE，证明△ABD∽△CBE，得出AD：CE=BD：BE，在等腰△BDE中根据三角函数的定义用顶角的代数式表示BD：BE，求出结果．
点评：本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定和性质．