题目内容

如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DE= $数学公式$ ，AB= $数学公式$ ，求AE的长．

（1）证明：连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC；
∵AB=AC，
∴BD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴∠ODF=∠DFA=90°，
∴DF为⊙O的切线．

（2）解：连接BE交OD于G；
∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，
∴∠EAD=∠BAD．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ED=BD，OE=OB．
∴OD垂直平分EB．
∴EG=BG．
又AO=BO，
∴OG= $\text{[math]}$ AE．
在Rt△DGB和Rt△OGB中，
BD²-DG²=BO²-OG²
∴（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ -OG）²=BO²-OG²
解得：OG= $\text{[math]}$ ．
∴AE=2OG= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，ED=BD，OE=OB；
故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG= $\text{[math]}$ AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD²-DG²=BO²-OG²，代入数值即可求出AE的值．
点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．