Question

在一块矩形板ABCD上进行装饰，己知AB=2.5m，BC=4m，先在矩形板上作一抛物线，使抛物线经过B、C两点，且其顶点在AD上，再在抛物线内作另一矩形EFHG，使这矩形的一边FH在BC上，另两点E、G在抛物线上，装饰抛物线内矩形EFHG边框时，打算使用一种单价为每米30元的嵌条，由于此矩形尺寸没定，为了满足各种设计情况的需要，在作材料预算时（不计损耗），这种嵌条的预算金额至少应为多少？请建立适当的直角坐标系解决问题．

Answer 1

解：以BC所在的直线为x轴，抛物线的对称轴我y轴，建立平面直角坐标系，依题意设抛物线解析式：
y=ax²+2.5，
把c（2，0）代入得，a=-，
∴y=-x²+2.5；
设FH=2m，则H（m，0），G（m，-m²+2.5）
即HG=-m²+2.5；
矩形EFHG的周长为：4m+2（-m²+2.5）=-（m-）²+，
由函数图象知
∴当m=时，周长最大，
∴这种金额的预算金额至少为×30=246元．
分析：本题涉及抛物线与矩形的问题，应根据抛物线的位置，适当建立坐标系，求抛物线的解析式，可设小矩形中点H的坐标，从而，表达小矩形的周长，运用二次函数性质求最小值．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．