Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°，将其绕直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A'B'交CB'边于点E，连接BE。
（1）如图1，当A'B'边经过点B时，α=_____°；
（2）如图2，在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3）如图2，设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=S_△ABC时，求AD的长，并判断此时直线A′C与⊙E的位置关系。

Answer 1

解：（1）当A′B′边经过点B时，α=60°； （2）猜想：如图2，点D在AB边上时，m=2； 证明：当时，点D在AB边上（如图2）， ∵ DE∥A′B′， ∴， 由旋转性质可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE， ∴， ∴△CAD∽△CBE， ∴∠A =∠CBE=30°， ∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°， ∴， 即m=2； （3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AB=2，， 由△CAD∽△CBE 得， ∵AD=x， ∴， 当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°， 此时，， 当S=时，， 整理，得， 解得，即AD=1， 此时D为AB中点，故∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE， ∴EC=EB， ∵， 点E在CB′边上， ∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB， ∴直线A′C与⊙E相切。