题目内容
(2013•大庆模拟)小明在玩一副三角板时发现:含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图①).即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合.现在,他让△C′DA′固定不动,将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D.
(1)如图②,将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°<α<180°),使BC边经过点D,则α=
(2)如图③,将△BAC绕点A按逆时针方向旋转,使BC边经过点D.试说明:BC∥A′C′.
(3)如图④,若AB=
,将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度,使BC边经过点D,求m的值.
(1)如图②,将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°<α<180°),使BC边经过点D,则α=
15
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°.(2)如图③,将△BAC绕点A按逆时针方向旋转,使BC边经过点D.试说明:BC∥A′C′.
(3)如图④,若AB=
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分析:(1)根据α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA,进而求出答案即可;
(2)根据旋转的性质得出∠CAC′=∠BAH,进而得出∠CAC′=∠C,即可得出答案;
(3)根据锐角三角函数的关系求出AC,HC以及HC′的长,进而得出答案.
(2)根据旋转的性质得出∠CAC′=∠BAH,进而得出∠CAC′=∠C,即可得出答案;
(3)根据锐角三角函数的关系求出AC,HC以及HC′的长,进而得出答案.
解答:解:(1)如图②,α=∠A′C′A=45°-30°=15°;
故答案为:15;
(2)如图③,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
∵∠CAC′+∠CAH=∠CAH+∠BAH=90°,
∴∠CAC′=∠BAH,
在Rt△ABC中,
∵AH⊥BC,
∴∠HAC+∠C=90°,
∵∠BAH+∠HAC=90°,
∴∠C=∠BAH,
∴∠CAC′=∠C,
∴BC∥A′C′;
(3)如图④,过点D作DH⊥AC,垂足为H,
∵AB=
,
∴AC=A′C′=
×
=
,
∴HC′=DH=
A′C′=
,
∴HC=
×
=
,
所以m的值为:HC-HC′=
-
.
故答案为:15;
(2)如图③,过点A作AH⊥BC,垂足为H,
∵∠CAC′+∠CAH=∠CAH+∠BAH=90°,
∴∠CAC′=∠BAH,
在Rt△ABC中,
∵AH⊥BC,
∴∠HAC+∠C=90°,
∵∠BAH+∠HAC=90°,
∴∠C=∠BAH,
∴∠CAC′=∠C,
∴BC∥A′C′;
(3)如图④,过点D作DH⊥AC,垂足为H,
∵AB=
2 |
∴AC=A′C′=
2 |
3 |
6 |
∴HC′=DH=
1 |
2 |
| ||
2 |
∴HC=
| ||
2 |
3 |
3
| ||
2 |
所以m的值为:HC-HC′=
3
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2 |
| ||
2 |
点评:此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数的关系等知识,根据已知得出HC以及HC′的长是解题关键.
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