Question

操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，

∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。

Answer 1

解：(1)画图略

（2)结论：AB=AF+CF．

证明：分别延长AE、DF交于点M，如图1．∵E为BC的中点，∴ BE=CE．

∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠M,

在△ABE与△MCE中，  ∴△ABE≌△MCE(AAS), ∴AB=MC.

又∵∠BAE=∠EAF, ∴∠M=∠EAF.

又∵MC=MF+CF, ∴AB=AF+CF.

(3)分别延长DE、CF交于点G，如图2。∵AB∥CF，∴∠B=∠C. ∠BAE=∠G.

∴△ABE∽△GCE，∴又∵

∵AB=5，∴GC=10。∵FC=1，∴GF=9。∵AB∥CF，∴∠BAE=∠EDF，∠G=∠EDF

∴GF=DF，∴DF=9