Question

【题目】边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 a，即等边三角形QKM的边长的 ，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN= a，
∵GF= AF= × a= a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ= GF= a，
同理IN= a，
∴GI= a+ a+ a= a，即第二个等边三角形的边长是 a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是 × a；
同理第第三个等边三角形的边长是 × a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是 × × a；
同理第四个等边三角形的边长是 × × a，第四个正六边形的边长是 × × × a；
第五个等边三角形的边长是 × × × a，第五个正六边形的边长是 × × × × a；
第六个等边三角形的边长是 × × × × a，第六个正六边形的边长是 × × × × × a，
即第六个正六边形的边长是 × a，
故选：A．

连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN= a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是 a，是等边三角形QKM的边长的 ；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的 ；求出第五个等边三角形的边长，乘以 即可得出第六个正六边形的边长．