Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣；（2）P（2，﹣）；（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．

【解析】

试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；

（2）首先求出抛物线的对称轴，连接BC，然后设设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），求出k和b的值，把x=2代入一次函数解析式，求出y的值即可；

（3）①当点N在x轴下方时，直接求出N点坐标；②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，先求出N点的纵坐标为，进而求出点N的横坐标，即可解答．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，

得到，

解得，

即抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，

∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

当x=2时，y=1﹣=﹣，

∴P（2，﹣）；

（3）存在，

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），

∴N1（4，﹣）；

②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，

在△AND与△MCO中，

∵，

∴△AND≌△MCO（ASA），

∴ND=OC=，即N点的纵坐标为，

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2±，

∴N2（2+，），N3（2﹣，），

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．