Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成
和两个三角形（如图2所示）。将纸片沿直线方向平移（点始终在同一直线上），当点与点B重合时，停止平移。在平移的过程中，交于点E，与分别交于点F、P。

（1）当平移到如图3所示位置时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离为x，和重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）。
，
又因为∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
 ，
，
，
。
（2）因为在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
所以由勾股定理，得AB=10，
即，
又因为，
所以，
所以，
，

所以，，
所以，
 ，
，
，
而，
所以。
（3）存在，当时，即，
整理，得，解得，
。