题目内容
如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点A与点B重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x（秒），△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y（cm2）．
（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．那么四边形FD2D1E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D1E=D2F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm2？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．那么四边形FD2D1E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D1E=D2F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm2？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据勾股定理求出AB的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出CD的值，根据三角形的面积公式就可以求出CH的值；
（2）根据菱形的性质就可以得出当D2F=D2D1时就可以求出D1E=D2F的值；
（3）分情况讨论，如图3，当0≤x≤5时，如图4，当5＜x≤10时，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（4）当y=3时分别代入（3）的解析式就可以求出x的值．
（2）根据菱形的性质就可以得出当D2F=D2D1时就可以求出D1E=D2F的值；
（3）分情况讨论，如图3，当0≤x≤5时，如图4，当5＜x≤10时，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（4）当y=3时分别代入（3）的解析式就可以求出x的值．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=
AB=5．
∵
AC•BC=
AB•CH，
∴
×6×8=
×10CH，
∴CH=4.8；
（2）可能，当D2F=D2D1时，四边形FD2D1E是菱形．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F，同理：BD1=D1E，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F，
∵D1E∥D2F，
∴四边形FD2D1E是平行四边形．
∵D2F=D2D1，
∴平行四边形FD2D1E是菱形．
∵AD2=x，
∴D2D1=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D1E=D2F=2.5；
（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D2D1=x
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=
=
，
∴sin∠ED1B=
．
设△BED1的BD1边上的高为h，
∴h=
，
∴S△BD1E=
×BD1×h=
(5-x)2．
∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°．
∵∠C2=∠B，
∴sin∠B=
，cos∠B=
，
∴PC2=
x，PF=
x，
∴S△FC2P=
PC2×PF=
x2．
∴y=S△D2C2B-S△BD1E-
S△ABC-
(5-x)2-=
x2，
∴y=-
x2+
x；
如图4，当5＜x≤10时，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA=
=
，cos∠PBA=
=
，
∴PA=
(10-x)，PB=
（10-x），
∴y=
×PA×PB=
×
(10-x)×
（10-x），
y=
（10-x）2．
综上可得：y=
（4）当0≤x≤5时，
-
x2+
x=3，
解得：x1=
＞5（舍去），x2=
；
当5＜x≤10时，
（10-x）2=3，
解得：x1=10+
＞10（舍去），x2=10-
；
∴当x=
或x=10-
时，重叠部分的面积等于3．
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=
| 1 |
| 2 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CH=4.8；
（2）可能，当D2F=D2D1时，四边形FD2D1E是菱形．
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F，同理：BD1=D1E，
∴AD2=BD1，
∴D1E=D2F，
∵D1E∥D2F，
∴四边形FD2D1E是平行四边形．
∵D2F=D2D1，
∴平行四边形FD2D1E是菱形．
∵AD2=x，
∴D2D1=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D1E=D2F=2.5；
（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D2D1=x
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=
| CH |
| CD |
| 24 |
| 25 |
∴sin∠ED1B=
| 24 |
| 25 |
设△BED1的BD1边上的高为h，
∴h=
| 24(5-x) |
| 25 |
∴S△BD1E=
| 1 |
| 2 |
| 12 |
| 25 |
∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°．
∵∠C2=∠B，
∴sin∠B=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴PC2=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴S△FC2P=
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 25 |
∴y=S△D2C2B-S△BD1E-
| 1 |
| 2 |
| 12 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
∴y=-
| 18 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
如图4，当5＜x≤10时，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA=
| PA |
| AB |
| 4 |
| 5 |
| PB |
| AB |
| 3 |
| 5 |
∴PA=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
y=
| 6 |
| 25 |
综上可得：y=
|
（4）当0≤x≤5时，
-
| 18 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
解得：x1=
20+5
| ||
| 6 |
20-5
| ||
| 6 |
当5＜x≤10时，
| 6 |
| 25 |
解得：x1=10+
5
| ||
| 2 |
5
| ||
| 2 |
∴当x=
20-5
| ||
| 6 |
5
| ||
| 2 |
点评：本题考查了勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，三角形面积公式的运用，三角函数的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．
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