Question

（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点、点，且与轴的另一交点为，其中＞0，又点是抛物线的对称轴上一动点．
（1）求点的坐标，并在图1中的上找一点，使到点与点的距离之和最小；
（2）若△周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（3）如图2，在线段上有一动点以每秒2个单位的速度从点向点移动(不与端点、重合)，过点作∥交轴于点,设移动的时间为秒，试把△的面积表示成时间的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值.

Answer 1

见解析解析:
（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=﹣6，
所以点A（﹣6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax²+bx+8与x轴的交点，
∴﹣6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的两个根，
∴﹣6+x₀=﹣，﹣6x₀=，
∴a=﹣，b=﹣+．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P₀．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx₀+n=0，
∴m=﹣，n=8．
∴BC的解析式为y=﹣x+8．
∴当x=﹣=时，y=+4，
∴P₀的坐标为（，+4）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10，
+=10，
解得x₀=10或x₀=﹣10（不符舍去），
则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y==﹣（x﹣2）²+．
顶点N（2，）；
（3）如图，作MN⊥BC于点N，
则△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因为MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MHh，
=×（8﹣2t）×，
=10t﹣，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4，
所以当t为2时S最大为10；