Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠ 90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE.

    （1）如图1，当边经过点B时，=      °；

    （2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；

（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=

     时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.

      

Answer 1

（1）当边经过点B时，=  60  °；

   （2）猜想：①如图8，点D在AB边上时，m=2；

       ②如图9，点D在AB的延长线上时，m=4.

       （阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）

 证明：① 当时，点D在AB边上（如图8）.

  （阅卷说明：①、②两种情况没写的取值范围不扣分）

     ∵ DE∥，

     ∴ .

                 由旋转性质可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.

∴ .

∴ △CAD∽△CBE.

∴ ∠A =∠CBE=30°.

∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°，

∴ ，即 m=2.

② 当时，点D在AB的延长线上（如图9）.

与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.

∵ 点D在AB的延长线上，，

∴ ，即 m=4.  

（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）

   （3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

            ∴ AB = 2 ，，.

 由 △CAD∽△CBE 得 .

 ∵ AD=x，

 ∴ ，.

①当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°.

  此时，.

             当S =时，.

             整理，得 .

 解得 ，即AD=1.

             此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如图10）

             ∴ EC = EB.

             ∵ ，点E在边上，

             ∴ 圆心E到的距离EC等于⊙E的半径EB.

             ∴ 直线与⊙E相切. 

           ②当点D在AB的延长线上时，AD=x，，∠DBE=90°.（如图9）.

             .

             当S =时，.

             整理，得 .

 解得 ，（负值，舍去）.

             即.

             此时∠BCE=，而，∠CBE=30°，

             ∴ ∠CBE＜∠BCE .

             ∴ EC＜EB，即圆心E到的距离EC小于⊙E的半径EB.

             ∴ 直线与⊙E相交.