Question

【题目】如图，是的直径，且，点为外一点，且，分别切于点、两点．与的延长线交于点．

（1）求证：；

（2）填空

①当________时，四边形是正方形．

②当_________时，为等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6，．

【解析】

（1）根据切线的性质及切线长定理可得MA⊥OA，MC⊥OC，MC＝MA，然后根据等边对等角及等角的余角相等求出∠DCM＝∠D，证得DM＝MC即可得出结论；

（2）①根据正方形的判定定理可知当CM＝OA＝6时，四边形AOCM是正方形；

②根据等边三角形的性质可得∠D＝60°，进而求出∠AOM＝30°，然后解直角三角形求出AM即可解决问题．

解：（1）如图1，连接OM，

∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，

∴MA⊥OA，MC⊥OC，MC＝MA，

∴∠DCM+∠OCB＝90°，∠D+∠B＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∴∠DCM＝∠D，

∴DM＝MC，

∴DM＝MA；

（2）①如图2，当CM＝6时，四边形AOCM是正方形；

∵AB＝12，

∴OA＝OC＝6，

又∵CM＝AM＝6，即AO＝CO＝AM＝CM＝6，

∴四边形AOCM是菱形，

又∵∠DAB＝90°，

∴四边形AOCM是正方形；

②连接OM，如图3，

∵△DCM是等边三角形，

∴∠D＝60°，

∵∠DAB＝90°，

∴∠B＝30°，

∴∠AOC＝2∠B＝60°，

∵AB＝12，MA，MC分别切⊙O于点A、C，

∴OA＝6，∠AOM＝30°，

∴tan∠AOM＝tan30°＝，

∴AM＝，

∴CM＝AM＝，

即当CM＝时，△CDM为等边三角形．