Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，cos∠B=

1

3

，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．
（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切；
（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．

Answer 1

分析：（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，根据已知可求得BC的长，再根据三角函数即可求得BD的长．
（2）根据已知可得到△ABC∽△EFG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得函数解析式．

解答：解：（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△ABM中，cos∠B=

1

3

，AB=3，
∴BM=1．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2．
设BD长为x，
在Rt△BDE中，cos∠B=

1

3

，
∴BE=3x，EC=2-3x．
同理FC=6-9x，FE=4

2

-6

2

x．
∴AF=9x-3．
由题意得9x-3=4

2

-6

2

x．
解得x=2

2

-

7

3

．

（2）∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴∠B+∠BED=90°，∠DEF+∠BED=90°．
∴∠B=∠DEF．
同理∠EFG=∠C．
∴△ABC∽△EFG．
∴

SEFG

SABC

=（

EF

BC

）²
∴

y

2 2

=（

4 2 -6 2 x

2

）²
∴y=36

2

x²-48

2

x+16

2

．
∵△ABC∽△EFG，
∴BC：EF=AB：GE，
∴2：（4

2

-6

2

x）=3：GE，
∴GE=6

2

-9

2

x．
∵在△BDE中，∠BDE=90°，BD=x，BE=3x，
∴DE=2

2

x．
∴DG=DE-GE=2

2

x-（6

2

-9

2

x）=11

2

x-6

2

．
∵点G在线段DE上，EG为△EFG的一条边，
∴DG≥0，且EG＞0，
∴11

2

x-6

2

≥0，且6

2

-9

2

x＞0，
解得

6

11

≤x＜

2

3

．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，弄清各边之间的关系是解题的关键．