Question

我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题：
（1）每天平均销售量可以表示为______；
（2）每天平均销售额可以表示为______；
（3）每天平均获利可以表示为y=______；
（4）当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？
（5）若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？

Answer 1

解：设售价为每千克x元，
由题意得：
（1）30+2×（50-x）；
（2）x[30+2×（50-x）]；
（3）（x-20）[30+2×（50-x）]-400；
（4）由y=（x-20）[30+2×（50-x）]-400
=-2x²+170x-3000
=-2（x-）²+612.5
∴当x=时，y_最大=612.5；
（5）当每日平均获利最多时，
x=时，日销售量=30+2×（50-x）=45，
∴销售天数为≈45，
∴获总利润为：612.5×45=27562.5；
当销售单价最高时，
x=50，日销售量=30，销售天数=≈67
获总利润为：2000×（50-20）-67×400=33200；
故当销售单价最高时获总利润最多．
分析：（1）根据单价定为50，每日平均销售30；单价每降低1元，每日平均多售出2千克．列出日销售量的表达式；
（2）日销售额=销售单价×日销售量；
（3）每日利润=（每千克售价-每千克进价）×日销售量-400
（4）根据（3）求函数最大值；
（5）理解“每日平均获利最多”和“销售单价最高”这两种销售方式，分别计算．
点评：本题是二次函数的实际应用题，需要从销售量，销售额，日利润逐步列式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．