Question

【题目】如图1，图2中，正方形ABCD的边长为6，点P从点B出发沿边BC—CD以每秒2个单位长的速度向点D匀速运动，以BP为边作等边三角形BPQ，使点Q在正方形ABCD内或边上，当点Q恰好运动到AD边上时，点P停止运动。设运动时间为t秒（t≥0）。

（1）当t＝2时，点Q到BC的距离＝_____；

（2）当点P在BC边上运动时，求CQ的最小值及此时t的值；

（3）若点Q在AD边上时，如图2，求出t的值；

（4）直接写出点Q运动路线的长。

Answer 1

【答案】（1） ；（2）t=,CQ=3;(3) ;(4)

【解析】试题分析：过点作用三角函数的知识即可求出点Q到BC的距离，

点P在BC边上运动时，有，根据垂线段最短，当时，CQ最小，作图，求解即可.

若点Q在AD边上，则证明Rt△BAQ≌Rt△BCP，

根据列出方程求解即可.

点Q运动路线的长等于点运动的路线长：

试题解析：如图：

过点作

当时，

是等边三角形，

故答案为：

点P在BC边上运动时，有，根据垂线段最短，当时，CQ最小，

如图，在直角三角形BCQ中，，

∴

∴

∴

（3）若点Q在AD边上，则

∵

∴Rt△BAQ≌Rt△BCP（HL）,

∴

∴

∵，且由勾股定理可得，

∴

解得：（不合题意，舍去），

∴.

（4）点Q运动路线的长等于点运动的路线长：