Question

平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为P．求证：四边形ABCD为矩形．

Answer 1

分析：首先连接PO，再根据直角三角形的性质可得OP=

1

2

AC，OP=

1

2

BD，进而得到AC=DB，然后再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得结论．

解答：证明：连接OP，
∵PA⊥PC，PB⊥PD，
∴△APC和△BPD都是直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=

1

2

AC，BO=DO=

1

2

DB，
∵在直角△APC中，OP是斜边中线，
∴OP=

1

2

AC，
∵在直角△BPD中，OP是斜边中线，
∴OP=

1

2

BD，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评：此题主要考查了矩形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．