题目内容

（1）解方程： $数学公式$ ；
（2）如图在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．①求证：△ABC∽△FCD；②若S_△FCD=5，BC=10，求DE的长．

（1）解：设 $\text{[math]}$ ，则原方程化为2（y²-2）-3y-1=0，即：2y²-3y-5=0
解之得： $\text{[math]}$ ．分别代入得： $\text{[math]}$ ，经检验都是原方程的根．

（2）①证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∴△BDE≌△EDC，
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

②解：过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ $\text{[math]}$ ，
∵S_△FCD=5，∴S_△ABC=20，又BC=10，
∴AM=4；∵DE∥AM，∴ $\text{[math]}$
∵DM= $\text{[math]}$ CD= $\text{[math]}$ ，BM=BD+DM，BD= $\text{[math]}$ BC=5，
∴ $\text{[math]}$ ，∴DE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设 $\text{[math]}$ ，则原方程化为2y²-3y-5=0，解之得： $\text{[math]}$ ．分别代入即可求解．
（2）①利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
②利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，换元法解二次方程，也利用了三角形的面积公式求线段的长．