题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E
、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）
| EP |
| DE |
| PD |
| DC |
分析：（1）证明三角形相似只要知道两个角相等即可，根据弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度关系可以知道∠FPD=DPC，即可证明．
（2）要证
=
，由（1）知道
=
，只要证明
=
，根据AE、AF与圆相切，可以求得．
（2）要证
| EP |
| DE |
| PD |
| DC |
| PF |
| FD |
| PD |
| DC |
| PF |
| FD |
| PE |
| ED |
解答：解：（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．
（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴
=
、
=
且AE=AF，
∴
=
．
∵△PFD∽△PDC，
∴
=
．
∴
=
．
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．
（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴
| AF |
| AD |
| PF |
| FD |
| AE |
| AD |
| PE |
| ED |
∴
| PF |
| FD |
| PE |
| ED |
∵△PFD∽△PDC，
∴
| PF |
| FD |
| PD |
| DC |
∴
| EP |
| DE |
| PD |
| DC |
点评：本题主要考查三角形相切的性质，结合角度关系来求．注意线段之间的转化，方便求解．
练习册系列答案
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