Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是斜边AB的中点．把三角尺的直角顶点与D重合，当三角尺转动时，两直角边与AC、BC交于F、E，四边形CEDF的面积会不会随三角尺的转动而发生变化？若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：四边形CEDF的面积不会随三角尺的转动而发生变化，
理由如下：在Rt△ABC中，D是AB的中点，且AC=BC，
∴CD=AB=BD，
∠DCA=∠B=45°，CD⊥AB，
∵∠BDE+∠CDE=90°，∠FDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=∠FDC．
在△BDE和△CDF中

∴△BDE≌△CDF（ASA）．
∴S_{四边形FDEC}=S_△FDC+S_△CDE=S_△BDE+S_△CDE=S_△BCD=S_△ACB=4
∴四边形CEDF的面积为4是一个定值．
分析：四边形CEDF的面积不会随三角尺的转动而发生变化，首先证明MD和ME所在的△BDE≌△CDF，再利用全等得到面积相等，把所求的四边形的面积进行转换，成为三角形的面积即可．
点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；两个角在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明，应注意需注意已证得条件在以后证明中的应用．