题目内容

如图，直线 $数学公式$ ，点A₁坐标为（1，0），过点A₁作x轴的垂线交直线于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画弧交x轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画弧交x轴于点A₃，…，按此做法进行下去，点A₄的坐标为________，点A_n________．

（ $\text{[math]}$ ，0）（（ $\text{[math]}$ ）^n-1，0）
分析：由直线解析式求出B₁点的坐标，解直角三角形得出∠B₁OA₁=30°，由此可发现，OA₂=OB₁=OA₁÷cos30°= $\text{[math]}$ OA₁，同理OA₃= $\text{[math]}$ OA₂=（ $\text{[math]}$ ）²OA₁，OA₄= $\text{[math]}$ OA₃=（ $\text{[math]}$ ）³OA₁，…，由此得出一般规律．
解答：由A₁坐标为（1，0），可知OA₁=1，
把x=1代入直线y= $\text{[math]}$ x中，得y= $\text{[math]}$ ，即A₁B₁= $\text{[math]}$ ，
tan∠B₁OA₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以，∠B₁OA₁=30°，
则OA₂=OB₁=OA₁÷cos30°= $\text{[math]}$ OA₁= $\text{[math]}$ ，
OA₃= $\text{[math]}$ OA₂=（ $\text{[math]}$ ）²，OA₄= $\text{[math]}$ OA₃=（ $\text{[math]}$ ）³，
故点A₄的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），点A_n（（ $\text{[math]}$ ）^n-1，0）．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ，0），（（ $\text{[math]}$ ）^n-1，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是由直线解析式求出直线与x轴正方向的夹角为30°，再依次求OA₂，OA₃，OA₄，…的长，得出一般规律．