Question

已知矩形ABCD中，AD=nAB，E为AB的中点，BF⊥CE于点F，过点F作DF的垂线交直线BC于G.

（1）如图1，当n=1 时，求证：△BFG∽△CFD ；

 

（2）如图2，当n=2 时，求证：CG=7BG .

 

Answer 1

解：（1）证明： ∵∠ABC＝90°

∴∠BEC+∠BCE＝90°

又∵BF⊥EC

∴∠FBC+∠BCE＝90°

∴∠BEC＝∠FBC             

又∵AB∥DC

∴∠BEC＝∠ECD

∴∠FBC＝∠ECD    ①       --------2分

又∵BF⊥EC，FG⊥FD

∴∠BFG+∠GFC＝∠GFC+∠CFD＝90°

∴∠BFG＝∠CFD    ②        --------4分

由①、②得：△BFG∽△CFD    --------5分

（2）证明：∵AD＝2AB，AB＝2BE

∴AD＝BC＝4BE  即

∵∠ECB公共，∠CFB＝∠CBE＝90°

∴△CFB∽△CBE            --------7分

∴

由第（1）问得△BFG∽△CFD 

∴ ------9分

又∵AD＝BC＝2AB＝2CD

∴             

∴           --------10分