题目内容

已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．

(1)设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；

(2)当t为何值时，AB⊥GH；

(3)请你证明△GFH的面积为定值；

(4)当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．

答案：
解析：

　　(1)如图

　　∵GA∥BC，∴＝，又∵AB＝6，AD＝2．

　　∴DB＝4，由于BF＝t，∴＝，∴AG＝t．

　　过点E作EK⊥AG，垂足为K．∵∠BCA＝，

　　∴∠CAK＝，∴∠AEK＝，∵AE＝2，∴AK＝1，∴EK＝．

　　∴S＝AG·EK＝×t×＝t;

　　(2)如图

　　连结DE，由AD＝AE可知，△ADE为等边三角形．若AB⊥HG，则AO＝OD，∠AEO＝∠DEO．∵GA∥DE，∴∠AGE＝∠GED，∴∠AGE＝∠AEG，∴AG＝AE＝2．∴t＝2，∴t＝4．即当t＝4时，∴∠AB⊥GH;

　　(3)法一：∵GA∥BC，∴＝，由合比性质得＝．∵DE∥BC，∴＝，＝，∴FH＝BC．∵△ABC与△GFH的高相等，∴S△GFH＝S△ABC＝×6×3＝9．

　　∴不论t为何值，△GFH的面积均为9．

　　法二：∵△GAD∽△FBD，∴＝＝．∵△GAE∽△HCE，∴＝＝．∴BF＝CH．当点F与点C重合时，BC＝FH，当点F在BC边上时，BC＝BF＋FC＝CH＋FC＝FH，当点F在BC的延长线上时，BC＝BF－FC＝CH－FC＝FH，∴BC＝FH．∵△ABC与△GFH的高相等，∴S△GFH＝S△ABC＝×6×3＝9．

　　∴不论t为何值，△GFH的面积均为9;

　　(4)∵BC＝FH，∴BF＝CH．①当点F在线段BC上时．若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF＝FC＝CH，∴BF＝CH．∴BF＝FC．∵BC＝6，∴BF＝FC＝3，∴当t＝3时，点F和点C是线段BH的三等分点．②如图，

当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BC＝CF＝FH．∵BC＝FH，∴BC＝CF．∵BC＝6，∴CF＝6，∴BF＝12．∴当t＝12时，点F和点C是线段BH的三等分点．


练习册系列答案
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