Question

已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1。

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的长是x2-5x+4=0的根，OA<OA， ∴OA=1，OC=4， ∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴， ∴A（-1，0），C（0，-4）， ∵抛物线的对称轴为x=1， ∴由对称性可得B点坐标为（3，0）， ∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）； （2）∵点C（0，-4）在抛物线图象上， ∴c=-4， ∴ 将A（-1，0），B（3，0）代入得， 解得， ∴所求抛物线解析式为：； （3）根据题意，BD=m，则AD=4-m， 在Rt△OBC中，BC==5， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=， ∴， ∴， ∴S△CDE=S△ADC-S△ADE==， ∵， ∴当m=2时，S有最大值2， ∴点D的坐标为（1，0）。