Question

已知，如图，E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA，DC，AE．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若AB=AC，试证明四边形AECD是矩形．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：EF是△ABC的中位线，则可得EF∥AB，EF=

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AB，又由DF=EF，易得AB=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABED是平行四边形；
（2）由（1）可得四边形AECD是平行四边形，又由AB=AC，AB=DE，易得AC=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形AECD是矩形．

解答：证明：（1）∵E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，
∴EF∥AB，EF=

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2

AB，（2分）
∵DF=EF，
∴EF=

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DE，（3分）
∴AB=DE，（4分）
∴四边形ABED是平行四边形；（5分）

（2）∵DF=EF，AF=CF，
∴四边形AECD是平行四边形，（6分）
∵AB=AC，AB=DE，
∴AC=DE，（7分）
∴四边形AECD是矩形．（8分）

或∵DF=EF，AF=CF，
∴四边形AECD是平行四边形，（6分）
∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEC=90°，（7分）
∴四边形AECD是矩形．（8分）

点评：此题考查了平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）以及三角形中位线的性质（三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半）．解题的关键是仔细分析图形，注意数形结合思想的应用．