Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数），则点P₂₀₁₁的坐标为

1. A.
   （-2²⁰¹¹，0）
2. B.
   （-•2²⁰¹¹，•2²⁰¹¹）
3. C.
   （0，-2²⁰¹¹）
4. D.
   （-•2²⁰¹⁰，•2²⁰¹⁰）

Answer 1

D
分析：先根据伸长的变化规律求出OP₂₀₁₁的长度，再根据每8次变化为一个循环组，求出点P₂₀₁₁是第几组第几次的变化，然后确定出所在的象限，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．
解答：由题意可得，OP₀=1，OP₁=2×1=2，
OP₂=2×2=2²，
OP₃=2×2²=2³，
OP₄=2×2³=2⁴，
…
OP₂₀₁₁=2×2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹，
∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8，
∴每8次变化为一个循环组，
2011÷8=251…3，
∴点P₂₀₁₁是第252组的第三次变换对应的点，与点P₃在同一象限，都在第二象限的平分线上，
∵×2²⁰¹¹=•2²⁰¹⁰，
∴点P₂₀₁₁的坐标为（-•2²⁰¹⁰，•2²⁰¹⁰）．
故选D．
点评：本题考查了点的坐标的规律探寻，读懂题意，需要从伸长的变化规律求出OP₂₀₁₁的长度，从旋转的变化规律求出点P₂₀₁₁所在的象限两个方面考虑求解．