Question

一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为          ，周长为          ；

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为           ，周长为           ；

（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

Answer 1

解：（1），

(1＋)a；…

（2），2a；

（3）猜想：重叠部分的面积为。

     理由如下：

     过点M分别做AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G。　

    为说明方便，不妨设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F。

由于M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝a

所以MH＝MG＝

又因为 ∠HME＝∠GMF

所以 Rt△MHE≌Rt△MGF分

因此阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积。

而正方形CGMH的面积是MG?MH＝×＝

所以阴影部分的面积是。