Question

（2013•威海）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可得

AD

=

BD

，∠C=

1

2

∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S_阴影=S_扇形OAB-S_△OAB，即可得出答案．

解答：解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，
∴∠C=

1

2

∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=

1

2

∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．

（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=

3

2

，OF=

1

2

，
∴AB=

3

，
∴S_阴影=S_扇形OADB-S_△OAB=

120π×12

360

-

1

2

×

1

2

×

3

=

1

3

π-

3

4

．

点评：本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的知识求出∠C、∠AOB的度数，难度一般．