题目内容
（2010•来宾）已知矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）试用t表示点N的坐标，并指出t的取值范围；
（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
（3）是否存在某个时刻t，使得点O、N、M三点同在一条直线上？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据条件先求出AC的值，求出sin∠AOC的值，作NE⊥OA于E，利用相似三角形的性质就可以表示出NE、OE的值，从而求出N点的坐标，由M运动的时间就可以求出t的范围．
（2）作NF⊥AB于F，根据N点的坐标就可以表示出S△OAN、S△AMN，从而可以求出结论；
（3）根据（2）的解析式=S△OAM，建立方程求出t的值．即可以得出结论．
（2）作NF⊥AB于F，根据N点的坐标就可以表示出S△OAN、S△AMN，从而可以求出结论；
（3）根据（2）的解析式=S△OAM，建立方程求出t的值．即可以得出结论．
解答：解：（1）如图1，作NE⊥OA于E，
∴∠NEA=90°．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠B=90°，BC=OA，OC=AB．
∴NE∥OC，
∴
=
，
∵OA=3cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=5，
∵CN=t，
∴AN=5-t．
∴
=
，
∴NE=4-
t．
∵tan∠OAC=
=
，
∴
=
，
∴AE=3-
t，
∴OE=
t，
∴N（
t，4-
t）．
∵
=4，
∴0＜t≤4；
（2）作NF⊥AB于F，
∴四边形AFNE是矩形，
∴NF=AE，NE=AF．
∴NF=3-
t，
∵AM=t，
∴S四边形OAMN=
+
，
=
+
，
=-
t2+
t+6；
（3）当O、N、M三点同在一条直线上时，
-
t2+
t+6=
，
解得：t1=-2-2
（舍去），t2=-2+2
＜4，
故t的值为-2+2
．
∴∠NEA=90°．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠B=90°，BC=OA，OC=AB．
∴NE∥OC，
∴
| AN |
| AC |
| NE |
| OC |
∵OA=3cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=5，
∵CN=t，
∴AN=5-t．
∴
| 5-t |
| 5 |
| NE |
| 4 |
∴NE=4-
| 4 |
| 5 |
∵tan∠OAC=
| EN |
| AE |
| 4 |
| 3 |
∴
4-
| ||
| AE |
| 4 |
| 3 |
∴AE=3-
| 3 |
| 5 |
∴OE=
| 3 |
| 5 |
∴N（
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵
| AB |
| 1 |
∴0＜t≤4；
（2）作NF⊥AB于F，
∴四边形AFNE是矩形，
∴NF=AE，NE=AF．
∴NF=3-
| 3 |
| 5 |
∵AM=t，
∴S四边形OAMN=
| OA．NE |
| 2 |
| AM．NF |
| 2 |
=
3(4-
| ||
| 2 |
t(3-
| ||
| 2 |
=-
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
（3）当O、N、M三点同在一条直线上时，
-
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
| 3×t |
| 2 |
解得：t1=-2-2
| 6 |
| 6 |
故t的值为-2+2
| 6 |
点评：本题考查了矩形的性质的运用，平行线分线段成比例定理的运用，不规则四边形的面积的运用，三角形的面积的运用，三角函数值的运用．解答时每一问之间是递进关系，需要认真审题，逐一解答．
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