Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer 1

考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．

分析：

（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；

（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；

（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）²=k•（10+5k），解此方程即可求得答案．

解答：

（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED为⊙O直径，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴点F是AD的中点；

（2）解：连接DM，

设EF=4k，df=3k，

则ED==5k，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM===k，

∴ME==k，

∴cos∠AED==；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE²=CE•BE，

∴（5k）²=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．