Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）
（1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．
（2）如图2，当时，问m为何值时？
（3）是否存在m，使？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先将m=-1代入y=2x-2m，得到y=2x+2，再令x=1，求出y=4，即可求出点P的坐标；
（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例得到=，由=2，得出OA=，再解方程-x²+2mx=0，求出点A的坐标（2m，0），则2m=，m=；
（3）分四种情况讨论：①当0＜m＜时，由（2）得m=，将m=代入y=2x-2m，得到y=2x-，再将x=1代入，求出y的值，得到点P的坐标；
②当≤m＜1时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到=，由=2，得出OA=，解方程2m=，得出m=，再同①；
③当m≥1时，同②，求出m=舍去；
④当m≤0时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到=，由=2，得出CP＞AP，而CP＜AP，所以m的值不存在．
解答：解：（1）如图1，当m=-1时，y=2x+2，
令x=1，则y=4，
∴点P的坐标为（1，4）；

（2）如图2，∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，∴=，
∵=2，∴==1，∴OA=．
令y=0，则-x²+2mx=0，
∴x₁=0，x₂=2m，
∴点A的坐标（2m，0），
∴2m=，∴m=；

（3）①当0＜m＜时，由（2）得m=，
∴y=2x-，
令x=1，则y=，
∴点P的坐标为（1，）；
②如图3，当≤m＜1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴=，
∵=2，∴=，∴OH=OA，
∵OH=1，∴OA=，
∴2m=，m=，
∴y=2x-，
令x=1，则y=，
∴点P的坐标为（1，）；
③如图4，当m≥1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴=，
∵=2，∴=，∴OH=OA，
∵OH=1，∴OA=，
∴2m=，m=，
∵m＞1，∴m=舍去；
④如图5，当m≤0时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴=，
∵=2，∴CP＞AP，
又∵CP＜AP，
∴m的值不存在．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定与性质，难度适中．第（3）小问中运用分类讨论思想将m的取值划分范围并且画出相应图形，从而利用数形结合及方程思想解决问题是本小题的关键．