Question

如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax²+bx+n（a≠0）过E，A′两点．

（1）填空：∠AOB=　45　°，用m表示点A′的坐标：A′（　m　，　﹣m　）；

（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：

①求a，b，m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

 

Answer 1

解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），

∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，

∵AB=2BC，

∴AB=2m=0B，

∵∠ABO=90°，

∴△ABO为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；

故答案为：45；m，﹣m；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵=，

∴P（2m，m），

∵A′为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）²﹣m，

∵抛物线过点E（0，n），

∴n=a（0﹣m）²﹣m，即m=2n，

∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

∵∠EOD′=∠ABC=90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），

∵抛物线y=ax²+bx+c过点E，A，

∴，

整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；

②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，

∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，

若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，

∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，

整理得：am=，即抛物线解析式为y=x²﹣x，

由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，

联立抛物线与直线OA解析式得：，

解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），

令5m=10，即m=2，

当m=2时，a=；

若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）²﹣（1+am）•2m=2m，

解得：am=2，

∵m=2，

∴a=1，

则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1