Question

【题目】如图，为的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，且平分．

（1）求证：为的切线；

（2）若，的半径为3，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC＝

【解析】

（1）连接CO，通过等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠DAC＝∠OCA，再根据内错角相等，两直线平行得出CO∥AD，再利用即可证明,则结论可证；

（2）连接BC，由圆周角定理的推论得出∠ACB＝90°，再由角平分线得出∠BAC＝30°，再根据AB=2r=6和特殊角的三角函数值即可求解．

（1）证明：连接CO，

∵AO＝CO，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴CO∥AD，

∴CO⊥CD，

∴DC为⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，

∴∠BAC＝∠DAB＝30°，

∵⊙O的半径为3，

∴AB＝6，

∴AC＝AB＝3．