Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
求证：EG=CF．

Answer 1

分析：G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，可证△AGE≌△ECF，得出结论．

解答：证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，

∠AGE=∠ECF AG=CE ∠GAE=∠CEF

，
∴△AGE≌△ECF，
∴EG=CF．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．