Question

在直角坐标系中，二次函数y=-

1

2

x²+

3m

2

^x+n-5的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，OC＞OA且

OC

OA

+

OC

OB

=

2

5

．
（1）求△ABC的面积及这个二次函数的具体表达式；
（2）试设计满足下述条件的一个方案（说明理由）：保持图象的形状大小不变，使以图象与坐标轴的3个交点为顶点的三角形的面积是△ABC的面积的一半．

Answer 1

分析：（1）设出ABC三点的坐标，用n表示出ab，c；由勾股定理可得答案；
（2）保持图象的张口和顶点的纵坐标不变，保持图象的对称轴与y轴平行，平移图象，使图象与y轴的交点C′坐标为（0，1），则这个图象为所求．

解答：解：
（1）设点A（a，0），B（b，0），C（0，c）其中（a＜0，b＞0，c＞0），
由条件得，c=n-5，ab=-2（n-5）．
在Rt△ABC中，∵CO⊥AB，有

CO

AO

=

BO

CO

，
∴CO²=AO•BO，
∴（n-5）²=-ab，
故（n-5）²=2（n-5），
解得n=7或n=5（舍去），
从而c=2，
因为

CO

AO

+

CO

BO

=

2

5

，

CO

AO

=

BO

CO

，
于是，

2

-a

+

-a

2

=

2

5

，
解得a=-1或a=-4，
因OC＞OA，
故舍去a=-4，
由a=-1，求得b=4，
故S_△ABC=

1

2

•OC•AB=5，
又因为点A（-1，0）在抛物线上，
所以把x=-1，y=0代入y=-

1

2

x²+

3m

2

x+2，得m=1，
所以y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）参考方案：保持图象的张口和顶点的纵坐标不变，保持图象的对称轴与y轴平行，平移图象，使图象与y轴的交点C′坐标为（0，1），
则这个图象为所求，理由如下：由y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
设移动后的抛物线为y=-

1

2

（x-k）²+

25

8

，则这图象的形式、大小保持不变，
又设这图象过点C′（0，1），把x=0，y=1代入上式，
求得k=±

17

2

，
所求的抛物线为y=-

1

2

（x-

17

2

）²+

25

8

①或y=-

1

2

（x+

17

2

）²+

25

8

②
设①与x轴的交点为A′，B′，其横坐标分别为x₁，x₂（x₁≤x₂），
则x₁，x₂为方程-

1

2

（x-

17

2

）²⁺

25

8

=0的两根，
解这个方程得x₁=

17

2

-

5

2

，x₂=

17

2

+

5

2

，
∴|x₁-x₂|=5，所以A′B′=5，
∴S_{△A′B′C′}=

1

2

S_△ABC，同理对于②也成立．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．