Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm²．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当1.5≤t≤t₀（t₀为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．

Answer 1

分析：（1）过D作DE⊥BC于E点，如图所示，把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题，结合题目的已知条件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的长度，接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间，也就求出了t的取值范围；
（2）首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上，过点P作PM⊥BC于M，如图所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）利用函数关系式结合t的取值范围可以得到动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．

解答：解：
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示
∴AB∥DE
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-EC=3cm（2分）
点P从出发到点C共需

13+3

2

=8（秒），
点Q从出发到点C共需

8

1

=8秒（3分），
又∵t≥0，
∴0≤t≤8（4分）；

（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示
∴PM∥DE
∴

PC

DC

=

PM

DE

即

16-2t

13

=

PM

12

∴PM=

12

13

（16-2t）（7分）
又∵BQ=t
∴y=

1

2

BQ•PM
=

1

2

t•

12

13

（16-2t）
=-

12

13

t²+

96

13

t（3分），

（3）∵由（2）知y=-

12

13

t²+

96

13

t=-

12

13

（t-4）²+

192

13

，
即顶点坐标是（4，

192

13

），抛物线的开口向下，
即抛物线被对称轴分成两部分：
在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小；
即当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）．

点评：此题比较复杂，考查了梯形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理及三角形的面积公式等知识，也以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识，具有很强的综合性．